Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику однородных .

Величина средней дает обобщающую количественную характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении данного признака.

Так, например, средняя дает обобщающую количественную характеристику состояния оплаты труда рассматриваемой совокупности работников. Кроме того, используя средние величины, имеется возможность сопоставлять различные информационные совокупности. Так, например, можно сравнивать различные организации по уровню производительности труда, а также по уровню , и по другим показателям.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения вызванные основным фактором.

Статистическая обработка методом средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака некоторой уравновешенной средней величиной .

Например, индивидуальная выработка у 5 операционистов коммерческого банка за день составила 136, 140, 154 и 162 операции. Чтобы получить среднее число операций за день, выполненных одним операционистом, необходимо сложить эти индивидуальные показатели и полученную сумму разделить на количество операционистов:

Операций.

Как видно из приведенного примера, среднее число операций не совпадает ни с одним из индивидуальных, так как ни один операционист не сделал 150 операций. Но если мы представим себе, что каждый операционист сделал по 150 операций, то их общая сумма не изменится, а будет также равна 750. Таким образом, мы пришли к основному свойству средних величин: сумма индивидуальных значений признака равна сумме средних величин.

Это свойство еще раз подчеркивает, что средняя величина является обобщающей характеристикой всей статистической совокупности.

Средние величины широко применяются в различных отраслях знаний. Особо важную роль они играют в экономике и статистике: при анализе, планировании, прогнозировании, при расчете нормативов и при оценке достигнутого уровня. Средняя всегда именованная величина и имеет ту же размерность, что и отдельная единица совокупности.

Важнейшими условиями (принципами) для правильного вычисления и использования средних величин является следующие:

1. В каждом конкретном случае необходимо исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков и имеющиеся для расчета данные.
2. Индивидуальные значения, из которых вычисляются средние, должны относиться к однородной совокупности, а число их должно быть значительным.

Виды средних величин

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние: Структурные средние:

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

Расчет некоторых средних величин:

• Средняя заработная плата 1 работника = Фонд заработной платы / Число работников
• Средняя цена 1 продукции = Стоимость производства / Количество единиц продукции
• Средняя себестоимость 1 изделия = Стоимость производства / Количество единиц продукции
• Средняя урожайность = Валовый сбор / посевная площадь
• Средняя производительность труда = объем продукции, работ, услуг / Отработанное время
• Средняя трудоемкость = отработанное время / объем продукции, работ, услуг
• Средняя фондоемкость = Средняя стоимость основных фондов / объем продукции, работ и услуг
• Средняя фондоотдача = объем продукции, работ и услуг / средняя стоимость основных фондов
• Средняя фондовооруженность = средняя величина основных производственных фондов / среднесписочная численность производственного персонала
• Средний процент брака = (стоимость бракованной продукции / Стоимость всей произведенной продукции) * 100%

Степенные средние величины

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными .
Если вариант встречается один раз, расчеты проводим по средней простой (например зарплата в 3 тыс.руб. встречается только у одного рабочего), а если вариант повторяется неодинаковое число раз, то есть имеет разные

В данной главе описывается назначение средних величин, рассматриваются их основные виды и формы, методика расчета. При изучении представленного материала необходимо усвоить требования к построению средних величин, так как их соблюдение позволяет использовать эти величины как типические характеристики значений признака по совокупности однородных единиц.

Формы и виды средних величин

Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику уровня значений признака, которая получена в расчете на единицу совокупности. В отличие от относительной величины, которая является мерой соотношения показателей, средняя величина служит мерой признака на единицу совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть существенные и случайные. Например, ставки процента по банковским ссудам определяются исходными для всех кредитных организаций факторами (уровень резервных требований и базовая ставка процента gо ссудам, предоставляемым коммерческим банкам центральным банком, и др.), а также особенностями каждой конкретной сделки в зависимости от риска, присущего данной ссуде, ее размера и срока погашения, издержек по оформлению ссуды и контролю за ее погашением и др.

В средней величине обобщаются индивидуальные значения признака и отражается влияние общих условий, наиболее характерных для данной совокупности в конкретных условиях места и времени. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Средняя величина будет отражать типичный уровень признака в данной совокупности единиц, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В связи с этим метод средних используют в сочетании с методом группировок.

Средние величины, характеризующие совокупность в целом, называют общими, а средние, отражающие особенность группы или подгруппы, – групповыми.

Сочетание общих и групповых средних позволяет проводить сравнения во времени и пространстве, существенно расширяет границы статистического анализа. Например, при подведении итогов переписи 2002 г. было установлено, что для России, как и для большинства европейских стран, характерно старение населения. По сравнению с переписью 1989 г. средний возраст жителей страны увеличился на три года и составил 37,7 года, мужчин – 35,2 года, женщин – 40,0 лет (по данным 1989 г. эти показатели соответственно были 34,7, 31,9 и 37,2 лет). По данным Росстата, ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 2011 г. мужчин – 63 года, женщин – 75,6 лет.

Каждая средняя отражает особенность изучаемой совокупности по какому-то одному признаку. Для принятия практических решений, как правило, необходима характеристика совокупности по нескольким признакам. В этом случае используют систему средних величин.

Например, для достижения должного уровня доходности операций при приемлемом уровне риска банковской деятельности средние ставки процента по выданным кредитам устанавливают с учетом средних ставок процента по депозитам и другим финансовым инструментам.

Форма, вид и методика расчета средней величины зависят от поставленной цели исследования, вида и взаимосвязи изучаемых признаков, а также от характера исходных данных. Средние величины делятся на две основные категории:

• 1) степенные средние;
• 2) структурные средние.

Формула средней определяется значением степени применяемой средней. С увеличением показателя степени k возрастает соответственно средняя величина.

1. Средняя гармоническая ():

2. Средняя геометрическая ():

3. Средняя арифметическая ():

4. Средняя квадратическая ():

Правило мажорности средних величин следующее:

Наиболее известный и распространенный вид средней – средняя арифметическая величина. Среднюю гармоническую часто рассматривают как величину, обратную средней арифметической. Среднюю квадратическую широко используют при расчете показателей вариации, а среднюю геометрическую – при анализе динамики.

В целях анализа и получения статистических выводов по результатом сводки и группировки исчисляют обобщающие показатели – средние и относительные величины.

Задача средних величин – охарактеризовать все единицы статистической совокупности одним значением признака.

Средними величинами характеризуются качественные показатели предпринимательской деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя величина – это обобщающая характеристика единиц совокупности по какому–либо варьирующему признаку.

Средние величины позволяют сравнивать уровни одного и того же признака в различных совокупностях и находить причины этих расхождений.

В анализе изучаемых явлений роль средних величин огромна. Английский экономист В. Петти (1623-1687 гг.) широко использовал средние величины. В. Петти хотел использовать средние величины в качестве меры стоимости расходов на среднее дневное пропитание одного работника. Устойчивость средней величины – это отражение закономерности изучаемых процессов. Он считал что информацию можно преобразовать, даже если нет достаточного объема исходных данных.

Применял средние и относительные величины английский ученый Г. Кинг (1648-1712) при анализе данных о населении Англии.

Теоретические разработки бельгийского статистика А. Кетле (1796-1874 гг.) основаны на противоречивости природы социальных явлений – высокоустойчивых в массе, но сугубо индивидуальных.

Согласно А. Кетле постоянные причины действуют одинаково на каждое изучаемое явление и делают эти явления похожими друг на друга, создают общие для всех них закономерности.

Следствием учения А. Кетле явилось выделение средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он говорил, что статистические средние величины представляют собой не категорию объективной действительности.

А. Кетле выразил взгляды на среднюю величину в своей теории среднего человека. Средний человек – это человек, обладающий всеми качествами в среднем размере (средняя смертность или рождаемость, средний рост и вес, средняя быстрота бега, средняя наклонность к браку и самоубийству, к добрым делам и т. д.). Для А. Кетле средний человек – это идеал человека. Несостоятельность теории среднего человека А. Кетле была доказана в русской статистической литературе в конце XIX-XX вв.

Известный русский статистик Ю. Э. Янсон (1835-1893 гг.) писал, что А. Кетле предполагает существование в природе типа среднего человека как чего–то данного, от которого жизнь отклонила средних людей данного общества и данного времени, а это приводит его к совершенно механическому взгляду и на законы движения социальной жизни: движение – это постепенное возрастание средних свойств человека, постепенное восстановление типа; следовательно, такое нивелирование всех проявлений жизни социального тела, за которым всякое поступательное движение прекращается.

Сущность данной теории нашла свое дальнейшее развитие в работах ряда теоретиков статистики как теория истинных величин. У А. Кетле были последователи – немецкий экономист и статистик В. Лексис (1837-1914 гг.), перенесший теорию истинных величин на экономические явления общественной жизни. Его теория известна под названием теория устойчивости. Другая разновидность идеалистической теории средних величин основана на философии

Ее основатель – английский статистик А. Боули (1869– 1957гг.) – один из самых видных теоретиков новейшего времени в области теории средних величин. Его концепция средних величин изложена в книге «Элементы статистики».

А. Боули рассматривает средние величины лишь с количественной стороны, тем самым отрывает количество от качества. Определяя значение средних величин (или «их функцию»), А. Боули выдвигает махистский принцип мышления. А. Боули писал, что функция средних величин должна выражать сложную группу

с помощью немногих простых чисел. Статистические данные должны быть упрощены, сгруппированы и приведены к средним Эти взгляды: разделяли Р. Фишер (1890-1968 гг.), Дж. Юл (1871 – 1951 гг.), Фредерик С. Миллс (1892 г) и др.

В 30-е гг. XX в. и последующие годы средняя величина рассматривается как социально значимая характеристика, информативность которой зависит от однородности данных.

Виднейшие представители итальянской школы Р. Бенини (1862-1956 гг.) и К. Джини (1884-1965 гг.), считая статистику отраслью логики, расширили область применения статистической индукции, но познавательные принципы логики и статистики они связывали с природой изучаемых явлений, следуя традициям социологической трактовки статистики.

В работах К. Маркса и В. И. Ленина средним величинам отводится особая роль.

К. Маркс утверждал, что в средней величине погашаются индивидуальные отклонения от общего уровня и средний уровень становится обобщающей характеристикой массового явления Такой характеристикой массового явления средняя величина становится лишь при условии, если взято значительное число единиц и эти единицы качественно однородны. Маркс писал, чтобы находимая средняя величина была средней «…многих различных индивидуальных величин одного и того же вида».

Средняя величина приобретает особую значимость в условиях рыночной экономики. Она помогает определить необходимое и общее, тенденцию закономерности экономического развития непосредственно через единичное и случайное.

Средние величины являются обобщающими показателями, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Статистические средние величины рассчитываются на основе массовых данных статистически правильно организованного массового наблюдения. Если статистическая средняя рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений), то она будет объективной.

Средняя величина абстрактна, так как характеризует значение абстрактной единицы.

От разнообразия признака у отдельных объектов абстрагируется средняя. Абстракция – ступень научного исследования. В средней величине осуществляется диалектическое единство отдельного и общего.

Средние величины должны применяться исходя из диалектического понимания категорий индивидуального и общего, единичного и массового.

Средняя отображает что–то общее, которое складывается в определенном единичном объекте.

Для выявления закономерностей в массовых общественных процессах средняя величина имеет большое значение.

Отклонение индивидуального от общего – проявление процесса развития.

В средней величине отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Задачей средних величин является характеристика этих уровней и их изменений во времени и пространстве.

Средний показатель – это обычное значение, потому что формируется в нормальных, естественных, общих условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом.

Объективное свойство статистического процесса или явления отражает средняя величина.

Индивидуальные значения исследуемого статистического признака у каждой единицы совокупности различны. Средняя величина индивидуальных значений одного вида – продукт необходимости, который является результатом совокупного действия всех единиц совокупности, проявляющийся в массе повторяющихся случайностей.

Одни индивидуальные явления имеют признаки, которые существуют во всех явлениях, но в разных количествах – это рост или возраст человека. Другие признаки индивидуального явления, качественно различные в различных явлениях, т. е. имеются у одних и не наблюдаются у других (мужчина не станет женщиной). Средняя величина вычисляется для признаков качественно однородных и различных только количественно, которые присущи всем явлениям в данной совокупности.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака и измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Теория диалектического материализма учит, что все в мире меняется, развивается. А также изменяются признаки, которые характеризуются средними величинами, а соответственно – и сами средние.

В жизни происходит непрерывный процесс создания чего–то нового. Носителем нового качества являются единичные объекты, далее количество этих объектов возрастает, и новое становится массовым, типичным.

Средняя величина характеризует изучаемую совокупность только по одному признаку. Для полного и всестороннего представления изучаемой совокупности по ряду определенных признаков необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

2. Виды средних величин

В статистической обработке материала возникают различные задачи, которые необходимо решать, и поэтому в статистической практике используются различные средние величины. Математическая статистика использует различные средние, такие как: средняя арифметическая; средняя геометрическая; средняя гармоническая; средняя квадратическая.

Для того чтобы применить одну из вышеперечисленных видов средней, необходимо проанализировать изучаемую совокупность, определить материальное содержание изучаемого явления, все это делается на основе выводов, полученных из принципа осмысленности результатов при взвешивании или суммировании.

В изучении средних величин применяются следующие показатели и обозначения.

Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается х; величина осредняемого признака у любой единицы статистической совокупности называют индивидуальным его значением, или вариантами, и обозначают как x 1 , х 2 , x 3 ,… х п ; частота – это повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой f.

Средняя арифметическая

Один из наиболее распространенных видов средней – средняя арифметическая, которая исчисляется тогда, когда объем ос–редняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Для вычисления средней арифметической величины сумму всех уровней признака делят на их число.

Если некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений, исчисленная таким образом средняя арифметическая называется средней арифметической взвешенной.

Формула средней арифметической взвешенной выглядит следующим образом:

гдех i – варианты,

f i – частоты или веса.

Взвешенная средняя величина должна употребляться во всех случаях, когда варианты имеют различную численность.

Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующуюся у каждого из них.

Вычисление средних величин производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до).

Свойства средней арифметической:

1) средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин: Если х i = y i +z i , то

Данное свойство показывает в каких случаях можно суммировать средние величины.

2) алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону:

Это правило демонстрирует, что средняя является равнодействующей.

3) если все варианты ряда увеличить или уменьшить на одно и тоже число?, то средняя увеличится или уменьшится на это же число?:

4) если все варианты ряда увеличить или уменьшить в А раз, то средняя также увеличится или уменьшится в А раз:

5) пятое свойство средней показывает нам, что она не зависит от размеров весов, но зависит от соотношения между ними. В качестве весов могут быть взяты не только относительные, но и абсолютные величины.

Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и тоже число d, то средняя не изменится.

Средняя гармоническая. Для того чтобы определить среднюю арифметическую, необходимо иметь ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f.

Допустим, известны индивидуальные значения признака х и произведения х/, а частоты f неизвестны, тогда, чтобы рассчитать среднюю, обозначим произведение = х/; откуда:

Средняя в этой форме называется средней гармонической взвешенной и обозначается х гарм. взв.

Соответственно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применима, когда неизвестны действительные веса f , а известно произведение fх = z

Когда произведения fх одинаковы или равны единицы (m = 1) применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле:

где х – отдельные варианты;

n – число.

Средняя геометрическая

Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:

Это формула средней геометрической.

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Если осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Например, с помощью средней квадратической можно определить диаметры труб, колес и т. д.

Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число.

Средняя квадратическая взвешенная равна:

3. Структурные средние величины. Мода и медиана

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.

Мода (М о ) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.

Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).

В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

где х о – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f m – частота модального интервала;

f т -1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f m +1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).

Медиана (M e – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

где х ме – нижняя граница медианного интервала;

i Me – величина медианного интервала;

f/2 – полусумма частот ряда;

S Me -1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f Me – частота медианного интервала.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

Статистическая совокупность состоит из множества единиц, объектов или явлений однородных в некотором отношении и одновременно отличных по величине признаков. Величина признаки каждого объекта определяется как общими для всех единиц совокупности, так и индивидуальными ее особенностями.

Анализируя упорядоченные ряды распределения (ранжировані, интервальные и др.), можно заметить, что элементы статистической совокупности явно концентрируются вокруг некоторых центральных значений. Такая концентрация отдельных значений признака вокруг некоторых центральных значений, как правило, имеет место во всех статистических распределениях. Тенденцию отдельных значений исследуемого признака группироваться вокруг центра распределения частот называют центральной тенденцией. Для характеристики центральной тенденции распределения применяются обобщающие показатели, которые получили название средних величин.

Средней величиной в статистике называют обобщающий показатель, характеризующий типичный размер признака в качественно однородной совокупности в конкретных условиях места и времени и отражает величину варьирующей признака в расчете на единицу совокупности. Вычисляется средняя величина в большинстве случаев путем деления общего объема признака на число единиц, обладающих этим признаком. Если, например, известный фонд месячной заработной платы и количество рабочих за месяц, то среднюю месячную заработную плату можно определить путем деления фонда заработной платы на количество рабочих.

В качестве средних величин выступают такие показатели как средняя продолжительность рабочего дня, недели, года, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень производительности труда, средний национальный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых культур по стране, среднее потребление продуктов питания на душу населения и т.д.

Средние величины исчисляются как из абсолютных, так и относительных величин, являются показателями именованными и измеряются в тех же единицах измерения, что и усереднювана признак. Они характеризуют одним числом значение исследуемой совокупности. В средних величинах находит отражение объективный и типичный уровень социально-экономических явлений и процессов.

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по одному какому-либо признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типичных черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, используется система средних показателей. Так, например, показатели средней заработной платы оцениваются совместно с показателями производительности труда (средней выработки продукции за единицу рабочего времени), фондовооруженностью и енергоозброєністю, уровнем механизации и автоматизации работ и др.

В статистической науке и практике средние величины имеют исключительно большое значение. Метод средних величин является одним из важнейших статистических методов, а средняя величина - одной из основных категорий статистической науки. Теория средних величин занимает одно из центральных мест в теории статистики. Средние величины являются основой для расчета показателей вариации (раздел 5), ошибок выборки (раздел 6), дисперсионного (раздел 8) и корреляционного анализа (раздел 9).

нельзя представить также статистику без индексов, а последние по существу представляют собой средние величины. Использование метода статистических группировок тоже ведет к пользованию средними величинами.

Как уже отмечалось, метод группировок - один из основных методов статистики. Метод средних в сочетании с методом группировок это составная часть научно разработанной статистической методологии. Средние показатели органично дополняют метод статистических группировок.

Средние величины используются для характеристики изменения явлений во времени, расчета средних темпов роста и прироста. Например, сопоставление средних темпов роста показателей производительности труда и ее оплаты за определенный период (ряд лет) раскрывает характер развития явления за изучаемый промежуток времени, отдельно производительности труда и отдельно оплаты труда. Сопоставление темпов роста указанных двух явлений дает представление о характере и особенность соотношения роста или снижения производительности труда относительно ее оплаты за определенные промежутки времени.

Во всех случаях, когда возникает необходимость охарактеризовать одним числом совокупность значений признака, что меняются, пользуются его средним значением.

В статистической совокупности значение признака изменяется от объекта к объекту, то есть варьирует. Усредняя эти значения и предоставляя урівняне значение признака каждому члену совокупности мы абстрагируемся от индивидуальных значений признака, тем самым как бы заменяем ряд распределения значений признака одним и тем же значением, равным средней величине. Однако такая абстракция правомерна лишь в том случае, если усреднение не меняет основного свойства по отношению к данной признаки в целом. Это основное свойство статистической совокупности, связанная с отдельными значениями признака, и которая при усреднении должна быть сохранена неизменной, называется определяющим свойством средней по отношению к исследуемой признаки. Иначе говоря, средняя заменяя индивидуальные значения признака, не должна изменять общего объема явления, т.е. обязательная такое равенство: объем явления равна произведению средней величины на численность совокупности. Например, если из трех значений урожайности ячменя (х, =20,0; 23,3; 23,6 ц/га) вычислена средняя(20,0+23,3+23,6):3 = 22,3 ц/га, то по определяющим свойством средней должна быть соблюдена такая равенство:

Как видно из приведенного примера, средняя урожайность ячменя не совпадает ни с одной из индивидуальных, так как ни в одном хозяйстве не полученная урожайность-22,3 ц/га. Однако если представить, что в каждом хозяйстве получили по 22,3 ц/га, то общая сумма урожайности не изменится и будет равна 66,9 ц/га. Следовательно, средняя заменяя фактическое значение отдельных индивидуальных показателей, не может изменить размер всей суммы величин исследуемого признака.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. в замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Свойство средней характеризовать не отдельные единицы, а выразить уровень признака в расчете на каждую единицу совокупности является ее отличительной способностью. Эта особенность делает среднюю обобщающим показателем уровня варьирующей признаки, т.е. показателем, который абстрагируется от индивидуальных значений величины признака у отдельных единиц совокупности. Но то, что средняя является абстрактной, не лишает ее научного исследования. Абстракция является необходимая степень всякого научного исследования. В средней величине, как в любой абстракции, осуществляется диалектическое единство индивидуального и общего. Взаимосвязь средних и отдельных значений усредненной признаки служит выражением диалектической связи индивидуального и общего.

Применение средних должно базироваться на понимании и взаимосвязи диалектических категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя величина отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте. Благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым общественным явлениям и не заметных в единичных явлениях.

В развитии явлений необходимость сочетается со случайностью. Поэтому средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при расчете средней величины случайные колебания, имеющие разную направленность, в силу действия закона больших чисел, взаимно уравновешиваются, погашаются и в величине средней четко отображается основная закономерность, необходимость, влияние общих условий, характерных для данной совокупности. В средней находит отражение типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Оценка этих уровней и изменение их во времени и пространстве - одна из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, закономерность повышения производительности труда, урожайности сельскохозяйственных культур, продуктивности животных. Следовательно, средние величины представляют собой обобщающие показатели, в которых находит свое выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

С помощью средних величин изучают изменение явлений во времени и пространстве, тенденции в их развитии, связи и зависимости между признаками, эффективность различных форм организации производства, труда и технологий, внедрения научно-технического прогресса, выявление нового, прогрессивного в развитии тех или иных социально-экономических явлений и процессов.

Средние величины широко применяются в статистическом анализе социально-экономических явлений, так как именно в них находят свое проявление закономерности и тенденции развития массовых общественных явлений, варьирующих как во времени, так и в пространстве. Так, например, закономерность повышения производительности труда в экономике находит свое отражение в росте среднего производства продукции из расчета на одного работника, занятого в производстве, увеличения валовых сборов - в росте средней урожайности сельскохозяйственных культур и т.д.

Средняя величина дает обобщенную характеристику изучаемого явления только по одному признаку, которая отражает одну из важнейших его сторон. В связи с этим для всестороннего анализа исследуемого явления необходимо строить систему средних величин по ряду взаимосвязанных и дополняющих друг друга существенных признаков.

Для того, чтобы средняя отражала действительно типичное и закономерное в изучаемых общественных явлениях при ее расчете необходимо придерживаться таких условий.

1. Признак, по которому исчисляется средняя должна быть существенной. В противном случае будет получена несущественна или искаженная средняя.

2. Среднюю нужно вычислять только по качественно однородной совокупности. Поэтому непосредственному вычислению средних должно предшествовать статистическое группирование, которое дает возможность расчленить исследуемую совокупность на качественно однородные группы. В связи с этим научной основой метода средних величин метод статистических группировок.

Вопрос об однородности совокупности не должен решаться формально по форме ее распределения. Его, так же как и вопрос о типичности средней, нужно решать, исходя из причин и условий, формирующих совокупность. Однородной является и совокупность, единицы которой формируются под влиянием общих главных причин и условий, которые определяют общий уровень данного признака, характерное для всей совокупности.

3. Расчет средней величины должна базироваться на охвате всех единиц данного типа или достаточно большой совокупности объектов, чтобы случайные колебания взаимно зрівноважували друг друга и проявлялась закономерность, типичные и характерные размеры изучаемого признака.

4. Общим требованием при расчете любого вида средних величин является обязательным сохранении неизменным общего объема признака в совокупности при замене индивидуальных его значений средним значением (так называемая определяющее свойство средней).

6.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Средняя величина - это одна из форм статистических показателей.

В средней величине сглаживаются индивидуальные особенности отдельных единиц совокупности, однако проявляется главное , основное, типичное, что характеризует совокупность в целом.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Обобщающий показатель - это показатель, который характеризует совокупность в целом.

Однородная совокупность - это совокупность, единицы которой формируются под воздействием общих основных причин и условий развития, определяющих общий уровень данного признака, характерный для всей изучаемой совокупности.

Средняя величина, исчисленная по качественно неоднородной совокупности, фиктивная, огульная.

Обязательные условия расчета средних величин

• 1. Средняя величина должна исчисляться на основе:
  • а) качественно однородной совокупности;
  • б) массовых достоверных данных;
  • в) сопоставимых данных (по территории, времени, единицам измерения, методике расчета и пр.).
• 2. Общая средняя величина обязательно должна дополняться другими средними величинами, исчисленными по отдельным группам, индивидуальными значениями осредняемого признака, средними других показателей.

Соблюдение этих условий позволит получить объективную характеристику явления и принять верное управленческое решение.

Например, в 2015 г. среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в Российской Федерации в целом по экономике составляла 34 030 руб., в том числе 15 758 руб. в текстильном и швейном производстве (это самая низкая заработная плата), 81 605 руб. - в производстве кокса и нефтепродуктов (самая высокая заработная плата).

В экономической практике применяют различные виды средних величин, которые подразделяются на две группы: степенные средние и структурные средние.

Степенные средние:

• 1) средняя арифметическая;
• 2) средняя гармоническая;
• 3) средняя геометрическая;
• 4) средняя квадратическая;
• 5) средняя кубическая и др.

Структурные средние : мода; медиана; квартили; децили и др. (будут рассмотрены в главе 7).

Выбор конкретной формулы расчета средней величины зависит:

• 1) от смысловой формулы, т.е. сущности осредняемого признака, его содержания, взаимосвязи с итоговым (определяющим) показателем;
• 2) данных, которыми располагает исследователь;
• 3) степени вариации (колеблемости) осредняемого признака.

Итоговый (определяющий ) показатель - это показатель, величина

которого не изменится, если все индивидуальные значения признака (Xj) заменить средней величиной X.

Определяющий показатель находится либо в числителе, либо в знаменателе смысловой формулы.

Вопрос. Как составить смысловую формулу для расчета средней из ОВ?

Совет бывалого статистика. Смысловая (логическая) формула для расчета средней величины из относительных показателей совпадает

с формулой расчета самого относительного показателя.

Смысловая формула среднего процента брака совпадает с формулой расчета относительной величины структуры (удельного веса брака в общем объеме продукции):

Между степенными средними существует определенное количественное соотношение, которое называется правилом мажорантности:

Вопрос. Можно ли заменить одну формулу расчета средней величины другой и в каком случае?

Совет бывалого статистика. Если колеблемость признака небольшая,

если значения признака (Х|) близки друг к другу, то более сложную

среднюю величину можно заменить более простой.

Например, вместо средней геометрической использовать среднюю арифметическую.

В данной главе будет рассмотрено два вида средних величин: средняя арифметическая и средняя гармоническая.

Другие виды средних величин будут изучены в следующих главах практикума.

В таблице 6.1 представлены основные формулы расчета средней арифметической и средней гармонической величин.

Таблица 6.1

Расчет средней арифметической и средней гармонической

Вид средней величины	Формула расчета
Средняя арифметическая простая	X - значение осредняемого признака у отдельных единиц совокупности; п - количество единиц в исследуемой совокупности или количество значений осредняемого признака. Используется, если: 1) данные не сгруппированы; 2) веса всех вариантов (/) равны друг другу; 3) ничего не известно о весах
Средняя арифметическая взвешенная	/- количество единиц, обладающее данным значением осредняемого признака, вес, соизмеритель
	d - доля единиц, обладающая определенным значением осредняемого признака, вес

Окончание

В практике экономических расчетов чаще всего используется средняя арифметическая величина.

В таблице 6.2 дана характеристика определенных свойств средней арифметической величины, которые широко используются для контроля и упрощения расчетов.

Таблица 6.2

Свойства средней арифметической величины

Свойство средней арифметической	Формула
1. Любая средняя величина не может быть меньше наименьшего значения осредняемого признака и больше наибольшего значения в совокупности
2. Если каждое значение признака увеличить или уменьшить на одно и то же число, то средняя величина изменится соответственно
3. Если каждое значение признака увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя величина изменится соответственно
4. Если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число, то средняя величина не изменится
Следствие: при расчете средней в качестве весов можно использовать удельные веса
5. Сумма отклонений отдельных вариантов от их средней равна нулю

Расчет средней величины способом моментов

Свойства средней арифметической позволяют упростить расчеты средних величин особенно для дискретных вариационных рядов, а также для интервальных рядов с равными интервалами. Проиллюстрируем это на примере.

Таблица 6.3

Выработка рабочих, шт./чел.	Середина интервала	Количество рабочих, человек /	х-х 0 , х 0 = 50	h ’ h = 20
80 и больше (80-100)

Решение. В таблице 6.3 представлен интервальный вариационный ряд с равными интервалами. В качестве значения признака (х) примем середину каждого интервала (графа 1).

Условимся, что ширина открытого интервала будет равна ширине соседнего с ним закрытого интервала.

Рассчитаем среднюю выработку рабочих бригады обычным (не упрощенным) способом:

Расчеты представлены в графах 3, 4 табл. 6.3.

2. Рассчитаем условную среднюю (среднюю из преобразованных вариант):

Расчеты представлены в графе 5 табл. 6.3.

3. Перейдем от условной средней (х) к фактической (х), для чего в обратном порядке выполним операции, которые мы сделали с х

Результат совпадает с расчетом неупрощенным способом.

Совет бывалого статистика. Если вариационный ряд с равными интервалами, то графы 1 и 3 таблицы исчислять не требуется. Сразу после графы 2 (/-частот) заполняем графу х". По центру этой графы записываем 0. Середина этого интервала будет х 0 , а ширина интервала - h (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Расчет средней выработки способом моментов

6.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 6.1. Рассчитайте среднюю месячную заработную плату рабочих предприятия в текущем году по данным табл. 6.5.

Решение. Расчет средней величины необходимо начинать с написания смысловой формулы.

Смысловая (.логическая ) формула средней заработной платы:

Алгоритм (формула расчета) средней заработной платы зависит от того, какие статистические данные есть в распоряжении исследователя.

Рассмотрим несколько вариантов.

I вариант. Если известно, что в текущем году фонд заработной платы рабочих предприятия за месяц составил 2804 тыс. руб., а работало на предприятии 72 человека, то среднюю заработную плату можно рассчитать, непосредственно подставив в смысловую формулу 6.2 известные нам данные о фонде заработной платы и численности рабочих:

Вывод. В текущем году рабочие предприятия получали в среднем в месяц 38,9 тыс. руб.

II вариант. Известны данные о заработной плате и численности рабочих по отдельным цехам предприятия (табл. 6.5).

Таблица 6.5

Фонд заработной платы и численность рабочих отдельных цехов предприятия за месяц

Решение. Смысловая (логическая) формула средней заработной платы не изменилась (формула 6.2). Однако ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы нам непосредственно неизвестны, но их можно рассчитать, используя данные табл. 6.5.

Выберем условные обозначения (табл. 6.6).

Чтобы рассчитать числитель смысловой формулы - «Фонд заработной платы рабочих предприятия», необходимо по каждому цеху предприятия умножить заработную плату рабочих (X) на численность рабочих (/), а затем, получив фонд заработной платы по каждому цеху (Xf), сложить их значения, исчислив, таким образом, фонд заработной платы по предприятию в целом:

Итоги расчетов представим в табл. 6.6.

Таблица 6.6

Расчет средней заработной платы рабочих предприятия за месяц (средняя арифметическая взвешенная)

Тогда средняя заработная плата по предприятию (X) будет равна:

Расчет средней заработной платы произвели по формуле средней арифметической взвешенной.

Вопрос. С какой точностью следует исчислять среднюю величину?

Совет бывалого статистика. Степень точности расчета средней величины должна быть выше степени точности осредняемых показателей, особенно при их небольших значениях.

В нашем случае заработная плата по отдельным цехам предприятия исчислена с точностью до целого числа (32; 48; 39), а средняя заработная плата - с более высокой степенью точности, до десятой доли числа (38,9).

Вопрос. Можно ли проверить правильность расчета средней величины?

Совет бывалого статистика. Любая средняя величина должна быть больше минимального значения и меньше максимального значения осредняемого признака (свойство любой средней величины):

В нашем случае это требование соблюдается:

Следовательно, грубой ошибки в расчетах не допущено.

Вывод. В текущем году средняя заработная плата рабочих предприятия за месяц составила 38,9 тыс. руб. Самая высокая заработная плата была в цехе № 2 - 48 тыс. руб./чел., самая низкая - в цехе № 1 - 32 тыс. руб./чел.

Вопрос. По какой формуле нужно исчислять среднюю величину, если известен только знаменатель смысловой формулы, а числитель не известен, но его можно рассчитать?

Совет бывалого статистика. Если известен только знаменатель смысловой формулы, а числитель не известен, но его можно рассчитать, исчисление средней величины производят по формуле средней арифметической взвешенной:

III вариант. Известны данные о заработной плате и фонде заработной платы рабочих по отдельным цехам предприятия за месяц (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Фонд заработной платы и численность рабочих отдельных цехов предприятия за месяц

Решение. Смысловая (логическая) формула средней заработной платы осталась прежней (6.2).

Однако ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы нам непосредственно неизвестны. Но их можно рассчитать по данным табл. 6.7.

Чтобы рассчитать знаменатель смысловой формулы - «Численность рабочих предприятия», необходимо по каждому цеху разделить фонд заработной платы (М ) на численность рабочих (X) и полученные данные сложить:

Итоги расчетов представим в табл. 6.8.

Таблица 6.8

Расчет средней заработной платы рабочих предприятия за месяц (средняя гармоническая взвешенная)

Расчет произвели по формуле средней гармонической взвешенной.

Проверка:

Вопрос. По какой формуле необходимо исчислять среднюю величину, если известен только числитель смысловой формулы, а знаменатель не известен, но его можно рассчитать?

Совет бывалого статистика. Если известен только числитель смысловой формулы, а знаменатель не известен, но его можно рассчитать, исчисление средней производят по формуле средней гармонической взвешенной:

IV вариант. Возможен случай, когда не известны данные ни о фонде заработной платы, ни о численности рабочих и рассчитать их нельзя. Однако известна информация о заработной плате по каждому цеху предприятия, т.е. даны значения осредняемого признака (xj) (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Заработная плата рабочих предприятия за месяц

Решение. В этом случае расчет средней заработной платы производят по формуле средней арифметической простой на основе данных о заработной плате (без учета сведений о численности рабочих):

Проверка:

Вопрос. Но какой формуле можно исчислить среднюю величину, если известны только значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности?

Совет бывалого статистика Если не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы, но известны значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности, расчет средней величины производят по формуле средней арифметической простой:

Как мы видим, заработная плата, исчисленная по формуле средней арифметической простой и средней арифметической взвешенной , количественно не совпадают:

Совет бывалого статистика. Средняя арифметическая взвешенная всегда дает более точный результат, чем средняя арифметическая простая, так как учитывает больше факторов, определяющих значение средней величины.

В нашем случае средняя арифметическая простая учитывает только разброс значений заработной платы в отдельных цехах, а средняя арифметическая взвешенная учитывает еще и количество рабочих, получающих каждое значение заработной платы.

Задача 6.2. В прошлом году билеты на концерты органной музыки можно было купить за 800, 1000 и 1200 руб. В текущем году цена билетов увеличилась на 100 руб.

Решение.

1. Рассчитаем среднюю цену на билеты в прошлом году.

Смысловая формула средней цены:

Так как нам не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы, но известны значения осредняемого признака (цены), можно воспользоваться только формулой средней арифметической простой".

Проверка:

Вывод. В прошлом году билеты на концерты органной музыки продавали в среднем по 967 руб./шт.

2. Рассчитаем среднюю цену на билеты в текущем году.

Проверка:

Для упрощения расчетов без потери их точности воспользуемся свойством средней величины (табл. 6.2, свойство 2):

Если в текущем году цены на все билеты повысили на 100 руб., то средняя цена в текущем году будет на 100 руб. больше прошлогодней средней цены:

Вывод. В текущем году билеты на концерты органной музыки будут продавать в среднем по 1067 руб./шт.

Совет бывалого статистика. Если каждое значение признака (X) увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то значение средней величины увеличится (уменьшится) на то же число.

Задача 6.3. Рассчитайте среднюю цену билетов на концерты органной музыки, если известно, что в прошлом году 33% билетов продавали по цене 1200 руб., 57% - по 900 руб. и 10% - по 800 руб.

Решение. Нам не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы и рассчитать их по условию задачи нельзя:

Однако определить среднюю цену билетов можно, если воспользоваться свойством средней величины (табл. 6.2): если веса (J) всех значений признака (X ) умножить или разделить на одно и то же число, то средняя величина не изменится.

Следовательно,

Вывод. В прошлом году билеты на концерты органной музыки продавали в среднем по 989 руб./шт.

Объясните, почему средняя цена билетов в задачах 6.2 и 6.3 не совпадает.

Совет бывалого статистика. В качестве весов (/) можно использовать удельные веса . Средняя величина не изменится.

Рассчитаем среднюю величину в интервальном вариационном

Задача 6.4. По данным таблицы 6.10 рассчитайте среднюю выработку рабочих бригады за смену, указав вид средней величины.

Таблица 6.10

Распределение рабочих бригады по выработке

Решение. Для расчета средней выработки рабочих бригады за смену воспользуемся смысловой формулой:

По условию задачи нам известен знаменатель смысловой формулы (численность рабочих бригады), а числитель (выпуск продукции рабочими бригады за смену) - нет, но его можно найти, перемножив по каждой группе выработку рабочих на количество рабочих. Следовательно, необходимо применять формулу средней арифметической взвешенной:

Однако данные о выработке рабочих представлены в виде интервалов, т.е. мы не знаем конкретно, сколько единиц продукции выработал каждый рабочий. Нам известно только, что каждый рабочий первой группы выпустил менее 10 изделий, второй - от 10 до 16 изделий и т.д. Какое же значение брать в качестве значения выработки из каждого интервала?

Совет бывалого статистика. Если данные представлены в виде интервального ряда, то в качестве значения признака (X) принимаем середину каждого интервала.

Первый интервал «до 10» - открытый, так как не имеет нижней границы. Сначала «закроем» этот интервал, условно определив его нижнюю границу.

Вопрос. Как закрыть открытый интервал?

Совет бывалого статистика. Величина открытого интервала принимается равной величине соседнего с ним закрытого интервала.

Величина соседнего закрытого интервала «10-16» равна 6=16- 10, следовательно, нижняя граница первого интервала будет составлять 4 = 10 - 6. Значит, первый интервал: «4-10».

Последний интервал «22 и выше» также открытый. Он не имеет верхней границы. Величина соседнего с ним закрытого интервала равна 6 = 22 - 16, следовательно, верхняя граница открытого интервала будет составлять 22 + 6 = 28. Последний интервал: «22-28».

Оформим решение в табл. 6.11.

Середину интервала по каждой группе рассчитаем по формуле средней арифметической простой. Например, для первой группы (первого интервала):

Таблица 6.11

Расчет средней выработки рабочих по данным интервального

ряда

Выработка рабочих бригады за смену, шт.	Численность рабочих, человек	Средняя выработка по группе, шт.	Выпуск продукции рабочими бригады за смену, шт.
		(4 + 10): 2 = 7	7 х-5 = 35
		(10 + 16): 2 = 13	13^-18 = 234

Смысловая формула средней выработки:

Исходя из смысловой формулы и данных, которыми мы располагаем, расчет средней зарплаты произведем по формуле средней арифметической взвешенной:

Проверка:

Вывод. Рабочие бригады вырабатывали в среднем 16 изделий за смену.

6.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Умен и способен тот, кто спрашивает, когда сомневается в чем-нибудь.

Ли Шин-ин

Задание 6.1. Напишите логическую (смысловую) формулу для расчета следующих показателей:

• 1) средняя урожайность картофеля;
• 2) средний процент выполнения плана;
• 3) средняя зарплата одного рабочего;
• 4) средний процент продукции высшего сорта;
• 5) средняя себестоимость единицы продукции;
• 6) средняя цена товара;
• 7) средняя рентабельность.

Задание 6.2. Заполнив табл. 6.12, рассчитайте за каждый квартал текущего года средний процент бракованной продукции по трем бригадам в целом. Назовите вид средних величин, по которым производился расчет. Проанализируйте полученные результаты.

Таблица 6.12

Экономические показатели по трем бригадам сборочного

цеха

Бригада	1 квартал			II квартал
	процент бракованной продукции	выпуск продукции,		процент бракованной продукции	выпуск бракованной продукции, шт.

Задание 6.3. Заполнив табл. 6.13, рассчитайте за каждый месяц текущего года среднюю рентабельность по трем предприятиям фирмы в целом.

Проанализируйте полученные результаты. Аргументируйте выбор средних величин, по которым производился расчет.

Таблица 6.13

Экономические показатели по трем предприятиям фирмы «Орфей»

Задание 6.4. Имеются следующие данные по трем сельскохозяйственным предприятиям области в текущем году:

• 1. Рассчитайте среднюю урожайность в целом по трем предприятиям за каждое полугодие и год.
• 2. Изучите изменение средней урожайности во втором полугодии по сравнению с первым. Сделайте выводы.
• 3. Проанализируйте изменение структуры посевных площадей.
• 4. Расчеты оформите в таблице.

Задание 6.5. Известны следующие данные о продажах крупы населению района по трем магазинам фирмы за февраль текущего года:

Таблица 6.14

Цена и объем реализации крупы за февраль текущего года

Рассчитайте:

• 1) среднюю цену 1 кг крупы по фирме в целом. Обоснуйте выбор формулы расчета средней величины. Оформите расчеты в виде таблицы;
• 2) долю магазина № 1 в общем объеме проданной крупы по фирме в целом.

Сделайте вывод.

Задание 6.6. По данным табл. 6.15 рассчитайте средний процент сертифицированной продукции. Аргументируйте выбор формулы расчета средней величины.

Сделайте вывод о динамике качества продукции, если в прошлом периоде средний процент сертифицированной продукции составлял 70,9%.

Таблица 6.15

Данные о сертификации продукции фирмы «Квадрат»

Задание 6.7. По данным табл. 6.16 рассчитайте средний процент выполнения сменного задания рабочими бригады, в том числе способом моментов.

Таблица 6.16

Распределение рабочих бригады по проценту выполнения сменного задания

Расчеты оформите в таблице. Сделайте выводы.

Задание 6.8. Рассчитайте средний тарифный разряд рабочих бригады, если 20% рабочих имеют третий разряд, 40% - четвертый, 35% - пятый, остальные - шестой. Укажите вид средней величины, по которой производился расчет. Назовите свойство средней величины, которым вы воспользовались в ходе решения.

Как изменилась квалификация рабочих бригады, если в прошлом году средний тарифный разряд рабочих составил 5,1. Сделайте выводы.

Задание 6.9. Кафе «Огонек» планировало купить 50 кг мяса по 300 руб./кг и 80 кг - по 270 руб./кг. Однако поставщик поднял цены на мясо в 1,2 раза.

Рассчитайте, по какой цене в среднем был фактически куплен 1 кг мяса и какова была средняя плановая цена закупки.

Назовите вид средней величины, по которой производился расчет. Сделайте выводы.

Задание 6.10. В предыдущем году у 28% населения области годовой доход на каждого члена семьи составлял 180 тыс. руб., у 56% - 264 тыс. руб., у остальных - 588 тыс. руб.

Представьте данные в форме таблицы. Определите средний годовой душевой доход семьи по области в целом.

Укажите вид средней величины, по которой производился расчет. Сделайте вывод.

Задание 6.11. Рассчитайте среднюю прибыль на одну акцию по фирме в целом, если сумма прибыли по первому предприятию фирмы составила 168,0 тыс. руб., по второму - 228,8 тыс. руб., по третьему - 218,4 тыс. руб. Прибыль на одну акцию по предприятиям фирмы составила соответственно 6,0; 5,2; 3,9 руб.

Рассчитайте долю каждого предприятия в общей сумме прибыли фирмы.

Расчеты задачи оформите в таблице. Сделайте вывод.

Задание 6.12. По данным табл. 6.17 рассчитайте средний возраст рабочих организации, указав вид средней величины.

Таблица 6.17

Распределение рабочих ПАО «Рекорд» по возрасту

Изучите возрастную структуру рабочих организации, исчислив ОБ структуры.

Расчеты оформите в таблице. Сделайте выводы.

Задание 6.13. Рассчитайте среднюю трудоемкость изготовления единицы продукции по фирме в целом, если затраты времени на производство продукции по первому предприятию фирмы составили 276 тыс. чел.-час, по второму - 2016 тыс. чел.-час, по третьему - 3666 тыс. чел.-час. Трудоемкость изделия по предприятиям фирмы составила соответственно 4,6; 11,2; 9,4 час/шт.

Укажите вид средней величины, по которой производился расчет.

Рассчитайте долю каждого предприятия в общих затратах времени на производство продукции фирмы. Укажите вид исчисленной ОБ.

Расчеты оформите в таблице. Сделайте вывод.

Задание 6.14. В России в 22 клубах Континентальной хоккейной лиги (КХЛ) 101 иностранец, в том числе: 14 - из Канады, 11 - из США, 76 - из Европы. В 14 клубах российской волейбольной суперлиги 17 иностранцев. В 10 клубах баскетбольной единой лиги ВТБ 53 иностранца. В российской футбольной премьер-лиге 16 клубов, в которых 131 иностранец. В российской суперлиге по хоккею с мячом 13 команд и всего 6 иностранцев. Примечание: все команды - мужские.

Рассчитайте: 1) среднее количество легионеров в клубах России; 2) структуру легионеров в КХЛ по признаку страны. Начертите структурную диаграмму. Сделайте выводы.

Задание 6.15. Известны следующие данные о торгово-производственной деятельности кафе «Ромашка» за сентябрь текущего года:

Рассчитайте:

• 1) по какой цене в среднем кафе «Ромашка» покупало товар в сентябре? Укажите вид исчисленной средней величины;
• 2) долю (удельный вес) каждой партии товара в общем объеме поступлений за месяц (в %). Оцените ритмичность поступлений товара.
• 3) на сколько рублей и процентов увеличилась средняя цена закупки товара, если в октябре товар покупали в среднем за 127,81 руб./шт.?

Сделайте выводы.

• Вывод. Каждый рабочий бригады вырабатывал в среднем 48 единиц продукции за смену. В дальнейших вычислениях средней выработки упрощенным способом воспользуемся свойствами средней арифметической величины. 1. В расчетах в качестве значения осредняемого признака (х) возьмем преобразованные варианты(х): где xq и h - любые числа. Совет бывалого статистика. Самого большого упрощения можно добиться, если в качестве х0 принять середину центрального интервала(х0 = 50), а в качестве h - ширину интервала (h = 20).